Il trasformatore — filoconduttore

L’energia elettrica si produce a qualche migliaio di volt, si trasporta a centinaia di migliaia e si consuma a 230. A cambiarle il valore lungo la strada è sempre lo stesso oggetto: due avvolgimenti sullo stesso nucleo di ferro, senza nessun contatto elettrico fra loro.

Perché si trasporta ad alta tensione

La potenza che serve all’utente è fissata: $P = V I \cos\varphi$ . Se la si trasporta alzando $V$ , la corrente $I$ cala nella stessa proporzione — e le perdite lungo la linea, che valgono $R I^2$ , calano col quadrato.

È il criterio generale: trasferire potenza con la tensione più alta e la corrente più bassa possibile. Il trasformatore è lo strumento che lo rende praticabile.

Il caso

Trasformatore: nucleo di ferro con avvolgimento primario a molte spire collegato al generatore e secondario a poche spire collegato al carico

Un avvolgimento primario di 4500 spire alimentato a 3000 V, un secondario di 150 spire. Che tensione esce?

La regola

Nel trasformatore ideale (nessuna perdita) la potenza entrante è uguale a quella uscente:

V_1 I_1 = V_2 I_2

e le grandezze si distribuiscono secondo il rapporto spire:

\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{I_1}{I_2}

Il perché delle spire sta nel nucleo, ed è una catena corta:

il nucleo di ferro convoglia lo stesso flusso magnetico dentro entrambi gli avvolgimenti;
↳ stesso flusso che varia → stessa tensione indotta per ogni spira, di qua e di là;
↳ un avvolgimento somma la tensione delle sue spire → $V \propto N$ , e il rapporto è servito.

Il “nessun contatto elettrico” dell’apertura è questo: i due avvolgimenti non si toccano, si parlano attraverso il flusso.

Applicato al caso:

V_2 = \frac{N_2}{N_1}\,V_1 = \frac{150}{4500}\cdot 3000 = 100\ \text{V}

Con $N_2 < N_1$ la tensione scende: è un abbassatore. Nel verso opposto, $N_2 > N_1$ , è un elevatore.

La tensione e la corrente vanno in versi opposti.

\underbrace{\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}}_{\text{tensione: come le spire}} \qquad \underbrace{\frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2}}_{\text{corrente: al contrario}}

Se il trasformatore alza la tensione dieci volte, abbassa la corrente dieci volte. Deve essere così: il prodotto $V I$ non può crescere dal nulla. Chi scrive $I_2/I_1 = N_2/N_1$ ottiene un apparecchio che moltiplica la potenza, e quello è il segnale che la formula è girata.

Il trasformatore funziona solo in corrente alternata. Non è una limitazione tecnologica: il principio è l’induzione, e per indurre una tensione al secondario serve un flusso magnetico che varia nel tempo. In continua, dopo il transitorio iniziale, il flusso è costante e al secondario non compare niente.

Le tre potenze

Con un carico non puramente resistivo la corrente è sfasata rispetto alla tensione di un angolo $\varphi$ , e le potenze diventano tre:

S = \frac{P}{\cos\varphi} \qquad P = S\cos\varphi \qquad Q = S\sin\varphi

$S$ è la potenza apparente in voltampere (VA), $P$ quella attiva in watt, $Q$ quella reattiva in VAR. Si compongono come i cateti di un triangolo rettangolo, non come numeri:

S = \sqrt{P^2 + Q^2} \qquad\Longrightarrow\qquad Q = \sqrt{S^2 - P^2}

$S = P + Q$ è falso, e produce l’errore più comune su questi esercizi.

\underbrace{S = \sqrt{P^2+Q^2}}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{S = P + Q}_{\text{sbagliato}}

Con $S = 300$ VA e $\cos\varphi = 0{,}75$ si ha $P = 225$ W; la sottrazione lineare darebbe $Q = 75$ VAR, mentre il valore vero è $Q = \sqrt{300^2 - 225^2} \approx 198$ VAR. Un fattore due e mezzo.

Il controllo che salva: $P$ non può mai superare $S$ , perché $\cos\varphi \leq 1$ . Se ti esce $P > S$ , fermati — c’è un errore prima.

Il rendimento

Il trasformatore reale perde qualcosa nel ferro e nel rame:

\eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{perse}}}

È sempre minore di 1, e nei trasformatori di potenza vale tipicamente fra il 95% e il 99%.

Esercizio. Dove non detto, considera il trasformatore ideale.

$N_1 = 1000$ , $N_2 = 50$ , $V_1 = 230$ V. Calcola $V_2$ e di’ se è elevatore o abbassatore.
Un trasformatore ideale ha $V_1 = 230$ V, $I_1 = 2{,}0$ A e $V_2 = 23$ V. Calcola $I_2$ .
Al secondario si misurano $S_2 = 500$ VA e $\cos\varphi = 0{,}80$ . Calcola $P_2$ e $Q_2$ .
Un trasformatore eroga $P_2 = 900$ W e dissipa 60 W. Calcola il rendimento.
Un compagno ti dice di aver misurato $P = 700$ W e $S = 600$ VA. Che cosa gli rispondi?

Mostra la soluzione

1. Rapporto spire:

V_2 = \frac{50}{1000}\cdot 230 = 11{,}5\ \text{V}

Meno spire al secondario, tensione più bassa: abbassatore.

2. La corrente va al contrario della tensione:

I_2 = \frac{V_1}{V_2}\,I_1 = \frac{230}{23}\cdot 2{,}0 = 20\ \text{A}

3. Prima l’attiva, poi la reattiva col triangolo:

P_2 = 500 \cdot 0{,}80 = 400\ \text{W}

Q_2 = \sqrt{500^2 - 400^2} = \sqrt{250000 - 160000} = \sqrt{90000} = 300\ \text{VAR}

4. La potenza assorbita è quella resa più le perdite:

\eta = \frac{900}{900 + 60} = \frac{900}{960} = 0{,}9375 \approx 94\%

5. Che ha sbagliato una misura o un conto: $P \leq S$ sempre, perché $P = S\cos\varphi$ e il coseno non supera 1. Una potenza attiva maggiore di quella apparente non esiste.

Verifica. Il punto 2 si controlla col bilancio delle potenze, che nel trasformatore ideale deve chiudere: $V_1I_1 = 230\cdot 2{,}0 = 460$ VA e $V_2I_2 = 23\cdot 20 = 460$ VA ✓ — il prodotto $V\!\cdot\!I$ è una potenza apparente, quindi voltampere e non watt. È il controllo da fare sempre — se i due prodotti non coincidono, il rapporto è stato girato.