Lo sdoppiamento dei generatori

Lo sdoppiamento dei generatori (teorema di Blakesley, o “spostamento dei generatori”) è un trucco di manipolazione della rete: un generatore di tensione ideale il cui ramo è condiviso tra più maglie può essere sostituito da una copia identica in ciascuna maglia, separando la rete in parti indipendenti, ognuna risolvibile per conto suo.

La regola

Se un ramo contiene solo un generatore ideale $E$ e collega un nodo a cui confluiscono altri rami, si può:

eliminare il ramo del generatore;
inserire una copia di $E$ , con lo stesso verso, in serie a ciascuno degli altri rami che confluivano nel nodo.

La rete resta equivalente: ogni percorso chiuso vede le stesse tensioni di prima, quindi tutte le correnti nei rami superstiti sono invariate.

Rete di partenza: due maglie che condividono il ramo centrale contenente il solo generatore E2

Dopo lo sdoppiamento di $E_2$ , le due maglie non hanno più nulla in comune:

Dopo lo sdoppiamento: due maglie indipendenti, ciascuna con la propria copia di E2

La corrente nel generatore sdoppiato

È il punto che serve negli esercizi di potenza. Il generatore originale portava la corrente di tutti i rami che vi confluivano, quindi:

I_{E} = I' + I'' + \dots

la corrente nel generatore di partenza è la somma delle correnti nelle sue copie (coi versi coerenti). Sdoppiare non fa sparire il generatore: lo rende calcolabile.

Quando conviene

Quando un generatore centrale accoppia due parti di rete che, senza di lui, sarebbero banali (una maglia sola, un parallelo, una rete binodale da Millman).
Quando l’incognita è proprio la corrente o la potenza del generatore condiviso: si sdoppia, si risolvono le sottoreti, si somma.
Esiste anche il duale per i generatori di corrente (si sdoppiano in parallelo agli elementi della maglia che attraversano); nelle reti in continua di solito basta il caso di tensione.

Attenzione: la regola vale per il generatore ideale. Se il ramo contiene anche una resistenza in serie, quella resta dov’è: si sdoppia solo la parte ideale.

Esercizio. Nella rete della prima figura: $E_1 = 10\ \text{V}$ , $E_2 = 30\ \text{V}$ , $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 15\ \Omega$ (morsetti $+$ verso il nodo $C$ ). Calcola la potenza generata da $E_2$ .

Mostra la soluzione

La potenza si scrive in funzione della corrente erogata: $P_{E_2} = E_2 \, I_{E_2}$ . Sdoppio $E_2$ nelle due maglie (seconda figura) e le risolvo separatamente.

Maglia di sinistra (unico anello con $E_2$ , $E_1$ ed $R_1$ , versi opposti dei generatori):

I' = \frac{E_2 - E_1}{R_1} = \frac{30 - 10}{10} = 2{,}0\ \text{A}

Maglia di destra (unico anello con $E_2$ ed $R_2$ ):

I'' = \frac{E_2}{R_2} = \frac{30}{15} = 2{,}0\ \text{A}

Ricomposizione. La corrente nel generatore originale è la somma:

I_{E_2} = I' + I'' = 4{,}0\ \text{A} \qquad\Rightarrow\qquad P_{E_2} = E_2 \, I_{E_2} = 30 \cdot 4{,}0 = 120\ \text{W}

Verifica senza sdoppiamento: il ramo di $E_2$ ideale impone direttamente $V_{CD} = 30$ V. Ramo sinistro: $I_1 = \frac{V_{CD} - E_1}{R_1} = 2{,}0$ A che scende; ramo destro: $I_2 = \frac{V_{CD}}{R_2} = 2{,}0$ A che scende; il generatore li fornisce entrambi: $4{,}0$ A. Torna. (È lo stesso caso degenere visto in Millman: un generatore ideale da solo tra due nodi impone la tensione.)