Il teorema di Thévenin (e Norton)

Guardata da due morsetti, qualunque rete di generatori e resistenze — per quanto complicata — si comporta esattamente come un circuito minimo: un generatore in serie a una resistenza. Questo dice il teorema di Thévenin, ed è lo strumento che trasforma i problemi lunghi in problemi corti.

Una rete qualsiasi vista dai morsetti A e B equivale a un generatore E_TH in serie a una resistenza R_TH

\text{rete qualsiasi fra } A \text{ e } B \qquad\equiv\qquad E_{TH} \text{ in serie a } R_{TH}

Servono due numeri, e ciascuno ha la sua ricetta.

E_TH: la tensione a vuoto

$E_{TH}$ è la tensione fra $A$ e $B$ a circuito aperto: si stacca tutto ciò che sta a valle dei morsetti e si calcola $V_{AB}$ .

Il punto che semplifica i conti: a morsetti aperti nei rami che arrivano ai morsetti non passa corrente ( $i = 0$ ), quindi le resistenze su quei rami non danno caduta di tensione — è come se non ci fossero.

Esempio classico: generatore $E$ con $R_1$ in serie e $R_2$ in parallelo ai morsetti. A vuoto non esce corrente verso $A$ , quindi $E$ , $R_1$ e $R_2$ formano un’unica maglia ed è un partitore:

E_{TH} = V_{AB} = E\,\frac{R_2}{R_1 + R_2}

Si potrebbe arrivarci anche scrivendo la KVL sulla maglia — funziona, ma è la strada lenta: il partitore dà lo stesso risultato in una riga.

Quando i generatori sono più di uno

Il partitore funziona solo se nella maglia c’è un solo generatore. Con due o più, la scorciatoia non vale e bisogna tornare alla legge delle maglie — ma il ragionamento resta corto.

Prendi una maglia con $E_1$ , $R_1$ , $R_2$ ed $E_2$ , e i morsetti $A$ – $B$ presi ai capi della serie $R_2$ – $E_2$ . A vuoto la corrente è una sola, e la KVL sulla maglia dà:

-E_1 + (R_1 + R_2)\,i + E_2 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad i = \frac{E_1 - E_2}{R_1 + R_2}

La tensione ai morsetti è ciò che sta fra $A$ e $B$ , cioè il pezzo di maglia che contiene $R_2$ ed $E_2$ :

V_{AB} = R_2\,i + E_2

e si può leggere anche riscrivendo la maglia come $-E_1 + R_1 i + V_{AB} = 0$ : la tensione ai morsetti è quello che resta della maglia dopo la caduta su $R_1$ .

Con più generatori, $E_{TH}$ non è più una frazione di $E$ : il secondo generatore entra nel conto col suo segno, e può sia aumentare sia ridurre la tensione ai morsetti.

Applicare comunque il partitore, ignorando $E_2$ , è l’errore che questa sezione esiste per prevenire: dà un numero plausibile e sbagliato.

Se i generatori sono tanti, l’alternativa è calcolare $V_{AB}$ con Millman o con la sovrapposizione — ma il metodo non cambia: $E_{TH}$ è sempre la tensione a vuoto, comunque tu la calcoli.

R_TH: la resistenza coi generatori spenti

$R_{TH}$ è la resistenza vista dai morsetti dopo aver spento tutti i generatori:

un generatore di tensione spento diventa un cortocircuito (impone 0 V fra i suoi morsetti);
un generatore di corrente spento diventa un circuito aperto (impone 0 A nel ramo).

Nell’esempio di prima, spegnendo $E$ il suo posto diventa un filo: guardando dai morsetti, $R_1$ e $R_2$ si ritrovano in parallelo:

R_{TH} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}

“Spegnere” non è “togliere”. Un generatore di tensione spento si sostituisce con un corto, non si cancella lasciando il ramo aperto — e per il generatore di corrente è l’esatto opposto. Confondere i due casi cambia completamente la topologia della rete, e $R_{TH}$ viene sbagliata anche se tutti i conti successivi sono giusti.

L’equivalente di Norton

Lo stesso teorema ha una forma gemella: al posto di generatore di tensione + resistenza in serie, un generatore di corrente + la stessa resistenza in parallelo.

I_N = \frac{E_{TH}}{R_{TH}} \qquad\qquad R_N = R_{TH}

$I_N$ è la corrente di cortocircuito: quella che passerebbe fra $A$ e $B$ collegandoli con un filo. Le due forme sono intercambiabili, e passare dall’una all’altra è spesso il modo più rapido di semplificare una rete con generatori di tipo misto.

Quando usare Thévenin: ogni volta che dell’intera rete ti interessa cosa succede su un solo componente (il carico). Sostituisci tutto il resto col suo equivalente e il problema diventa una maglia sola.

E le due ricette in una riga: $E_{TH}$ a vuoto, $R_{TH}$ a generatori spenti.

Esercizio. Un generatore $E = 24\ \text{V}$ ha in serie $R_1 = 6\ \Omega$ ; dal nodo dopo $R_1$ , una resistenza $R_2 = 12\ \Omega$ va verso il morsetto $B$ . I morsetti $A$ (dal nodo) e $B$ chiudono su un carico $R_L = 8\ \Omega$ .

Calcola l’equivalente di Thévenin della rete vista da $A$ – $B$ (senza il carico).
Usa l’equivalente per calcolare la corrente nel carico.
Scrivi l’equivalente di Norton.

Mostra la soluzione

Punto 1. A vuoto niente corrente verso $A$ : partitore fra $R_1$ e $R_2$ .

E_{TH} = 24 \cdot \frac{12}{6 + 12} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16\ \text{V}

Spengo $E$ (diventa un corto): $R_1$ e $R_2$ in parallelo.

R_{TH} = \frac{6 \cdot 12}{6 + 12} = 4\ \Omega

Punto 2. Ora la rete è una maglia sola: $E_{TH}$ , $R_{TH}$ e il carico in serie.

I_L = \frac{E_{TH}}{R_{TH} + R_L} = \frac{16}{4 + 8} = \frac{16}{12} \approx 1{,}33\ \text{A}

Punto 3.

I_N = \frac{E_{TH}}{R_{TH}} = \frac{16}{4} = 4\ \text{A} \qquad R_N = 4\ \Omega \text{ in parallelo}

Verifica. La tensione sul carico è $V_L = R_L I_L = 8 \cdot 1{,}33 \approx 10{,}7$ V, che deve anche valere $E_{TH} - R_{TH} I_L = 16 - 5{,}3 \approx 10{,}7$ ✓. E ha senso: sotto carico la tensione ai morsetti è minore della tensione a vuoto — è la caduta interna su $R_{TH}$ , lo stesso effetto del partitore caricato.