Resistenza, resistività e codice dei colori

La resistenza è la difficoltà che la corrente incontra nell’attraversare un conduttore. L’analogia idraulica funziona bene: la tensione è la spinta, la corrente è la portata, e la resistenza è una strozzatura del tubo. A parità di spinta, più stretto è il tubo, meno acqua passa.

Ma da cosa dipende, quella strozzatura?

La seconda legge di Ohm

La resistenza di un conduttore dipende da tre cose: il materiale, quanto è lungo e quanto è grosso.

R = \rho\,\frac{\ell}{S}

Conduttore cilindrico con indicate la lunghezza e la sezione

Identificando i pezzi:

$\rho$ (rho) è la resistività, e dipende solo dal materiale. Si misura in $\Omega \cdot \text{m}$ ;
$\ell$ è la lunghezza del conduttore, in metri;
$S$ è l’area della sezione, in $\text{m}^2$ .

Le due dipendenze hanno senso appena le si legge come il tubo dell’acqua: più lungo è il percorso, più resistenza (sta al numeratore); più larga è la sezione, meno resistenza (sta al denominatore).

Qualche valore di resistività a $20\ °\text{C}$ , per avere le proporzioni in testa:

materiale	$\rho$ $(\Omega \cdot \text{m})$
argento	$1{,}6 \cdot 10^{-8}$
rame	$1{,}7 \cdot 10^{-8}$
alluminio	$2{,}8 \cdot 10^{-8}$
ferro	$1{,}0 \cdot 10^{-7}$
vetro	$\sim 10^{12}$

Il rame è quasi buono come l’argento e costa molto meno: per questo i cavi sono di rame.

Resistenza e resistività non sono la stessa grandezza.

La resistività $\rho$ è una proprietà del materiale: il rame ha la sua, punto.
La resistenza $R$ è una proprietà dell’oggetto: due fili di rame diversi hanno resistenze diverse pur avendo la stessa $\rho$ .

Si misurano anche in unità diverse: $\Omega \cdot \text{m}$ contro $\Omega$ .

Se il testo ti dà il diametro e non la sezione, la sezione va calcolata:

S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2

E attenzione a cosa comporta: raddoppiando il diametro la sezione quadruplica, quindi la resistenza si riduce a un quarto, non a metà. La sezione dipende dal quadrato del raggio.

Il codice dei colori

I resistori sono troppo piccoli per scriverci sopra il valore, quindi lo si codifica con bande colorate. Nella versione a quattro bande:

Resistore a quattro bande: giallo, viola, rosso, oro

colore	cifra	moltiplicatore
nero	0	×1
marrone	1	×10
rosso	2	×100
arancione	3	×1 000
giallo	4	×10 000
verde	5	×100 000
blu	6	×1 000 000
viola	7	—
grigio	8	—
bianco	9	—

La quarta banda è la tolleranza: oro $\pm 5\%$ , argento $\pm 10\%$ .

Le prime due bande sono cifre, la terza è un moltiplicatore, la quarta la tolleranza. Si legge partendo dal lato dove le bande sono più vicine al bordo — la banda di tolleranza è quella staccata dalle altre.

Esercizio.

Un filo di rame ( $\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ ) è lungo 50 m e ha sezione $1{,}5\ \text{mm}^2$ . Calcola la sua resistenza.
Se raddoppio il diametro del filo mantenendo la stessa lunghezza, quanto vale la nuova resistenza?
Un resistore ha le bande marrone, nero, arancione, oro. Quanto vale?

Mostra la soluzione

Punto 1. Prima converto la sezione in $\text{m}^2$ , ed è il passaggio dove si sbaglia:

1{,}5\ \text{mm}^2 = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^2

(non $10^{-3}$ : un millimetro quadrato è un millesimo al quadrato di metro quadrato.)

R = \rho\,\frac{\ell}{S} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{50}{1{,}5 \cdot 10^{-6}} = \frac{8{,}5 \cdot 10^{-7}}{1{,}5 \cdot 10^{-6}} \approx 0{,}57\ \Omega

Punto 2. Raddoppiando il diametro la sezione quadruplica, quindi la resistenza si divide per 4:

R' = \frac{0{,}57}{4} \approx 0{,}14\ \Omega

Punto 3. Marrone $=1$ , nero $=0$ , arancione $=\times 1000$ :

10 \times 1000 = 10\,000\ \Omega = 10\ \text{k}\Omega \pm 5\%

Verifica. Il risultato del punto 1 ha senso? Mezzo ohm su 50 metri di cavo è poco, ed è proprio quello che ci aspettiamo da un buon conduttore: se venisse qualche centinaio di ohm, l’errore sarebbe nella conversione della sezione.