I principi di Kirchhoff — filoconduttore

La legge di Ohm dice cosa succede ai capi di una resistenza. Non basta per una rete: serve sapere come corrente e tensione si distribuiscono fra rami diversi. A questo rispondono due regole, e sono le uniche due che servono.

Prima legge: i nodi

Un nodo è un punto in cui si incontrano tre o più rami. La legge dice:

\sum i_{\text{entranti}} = \sum i_{\text{uscenti}}

Nodo con due correnti entranti e tre uscenti

Nel nodo in figura:

i_1 + i_2 = i_3 + i_4 + i_5

Il motivo fisico è che la carica non si accumula nel nodo: quella che entra, nello stesso istante esce. Un nodo non è un serbatoio.

L’equazione lega le somme, non i singoli termini. Da

i_1 + i_2 = i_3 + i_4 + i_5

non segue che $i_1 = i_2$ , né che $i_3 = i_4 = i_5$ . È l’errore più frequente su questa legge: si legge l’uguale come se valesse ramo per ramo, mentre vale solo fra il totale che entra e il totale che esce.

Seconda legge: le maglie

Una maglia è un percorso chiuso nel circuito. Percorrendola tutta e tornando al punto di partenza:

\sum E_i + \sum V_i = 0

dove le $E_i$ sono le forze elettromotrici dei generatori e le $V_i$ le cadute di tensione sulle resistenze ( $V = R\,i$ ).

Maglia con generatore e due resistenze, e il verso di percorrenza indicato

Anche qui il motivo è semplice: la tensione è una differenza di potenziale fra due punti. Se parti da un punto e ci torni, la differenza complessiva è zero — sei tornato dove eri.

La regola dei segni è una sola: percorrendo la maglia, ogni componente entra nell’equazione col segno del morsetto che incontri per primo.

Applicata alla maglia in figura, percorsa nel verso indicato:

il generatore lo attraversi dal $-$ al $+$ : incontri prima il $-$ , quindi scrivi $-E$ ;
le resistenze le percorri nel verso della corrente, e in un utilizzatore la corrente entra dal $+$ : incontri prima il $+$ , quindi scrivi $+R\,i$ .

-E + R_1 i + R_2 i = 0 \qquad\Rightarrow\qquad i = \frac{E}{R_1 + R_2}

Non c’è una regola per i generatori e una per le resistenze: è sempre il segno del morsetto in cui entri. Se cambi il verso di percorrenza, tutti i termini cambiano segno insieme e l’equazione resta la stessa — quindi il verso non può essere sbagliato, purché tu sia coerente lungo tutta la maglia.

La legge di Ohm generalizzata

Fra due punti qualsiasi $A$ e $B$ di un circuito, la tensione vale la somma algebrica delle f.e.m. incontrate più le cadute di tensione sulle resistenze fra i due punti:

V_{AB} = \sum E_i + \sum V_i

“Somma algebrica” è la parte che conta: ogni termine entra col suo segno, e il segno si decide con la stessa regola di prima — quello del morsetto che incontri per primo andando da $A$ verso $B$ . È la legge delle maglie applicata a un tratto aperto invece che a un percorso chiuso.

Come si risolve un circuito

Il procedimento è sempre lo stesso, e conviene farlo in quest’ordine:

Imponi i versi delle correnti e delle tensioni. Sono una tua scelta, non un dato del problema.
Semplifica il circuito a una maglia unica, riducendo serie e paralleli a resistenze equivalenti.
Risolvi e ricava l’incognita, poi risali indietro alle grandezze dei singoli rami.

I versi si scelgono, non si indovinano. Se alla fine una corrente viene negativa, non hai sbagliato: hai scoperto che scorre nel verso opposto a quello che avevi disegnato. Il segno è un’informazione, non un errore.

Esercizio. Un generatore $E = 24\ \text{V}$ alimenta $R_1 = 200\ \Omega$ in serie al parallelo fra $R_2 = 300\ \Omega$ e $R_3 = 600\ \Omega$ .

Calcola la resistenza equivalente e la corrente erogata dal generatore.
Calcola la tensione sul parallelo.
Calcola le correnti in $R_2$ e $R_3$ , e verifica la prima legge di Kirchhoff.

Mostra la soluzione

Punto 1. Prima il parallelo, poi la serie:

R_{23} = \frac{300 \cdot 600}{300 + 600} = \frac{180000}{900} = 200\ \Omega

\begin{aligned} R_{eq} &= R_1 + R_{23} = 200 + 200 = 400\ \Omega \\ \Rightarrow\quad i_{tot} &= \frac{E}{R_{eq}} = \frac{24}{400} = 0{,}060\ \text{A} = 60\ \text{mA} \end{aligned}

Punto 2. Tutta la corrente attraversa $R_1$ , quindi la caduta su $R_1$ è $200 \cdot 0{,}060 = 12\ \text{V}$ . Per la legge delle maglie quello che resta va sul parallelo:

V_{23} = 24 - 12 = 12\ \text{V}

Punto 3. Le due resistenze del parallelo hanno la stessa tensione ai capi:

i_2 = \frac{12}{300} = 0{,}040\ \text{A} \qquad i_3 = \frac{12}{600} = 0{,}020\ \text{A}

Verifica. Nel nodo entra $i_{tot}$ ed escono $i_2$ e $i_3$ :

i_2 + i_3 = 0{,}040 + 0{,}020 = 0{,}060\ \text{A} = i_{tot} \;✓

Nota anche il senso fisico: la resistenza doppia si prende metà corrente. Se ti fosse venuta più corrente in $R_3$ che in $R_2$ , l’errore sarebbe nel parallelo.