Reattanze e impedenza — filoconduttore

In continua il condensatore era un circuito aperto e l’induttore un filo. In alternata la tensione cambia in continuazione, e quei due componenti tornano in gioco: si oppongono al passaggio della corrente, ma in modo diverso da una resistenza.

Le reattanze

L’opposizione di condensatore e induttore si chiama reattanza, si misura in ohm come la resistenza, ma dipende dalla frequenza:

X_L = \omega L \qquad\qquad X_C = \frac{1}{\omega C}

con $\omega = 2\pi f$ , $L$ in henry [H] e $C$ in farad [F].

Le due dipendenze sono opposte, e vale la pena leggerle a parole:

$X_L$ cresce con la frequenza: l’induttore blocca il veloce e lascia passare il lento — al limite, in continua ( $f=0$ ) vale 0, cioè è un filo;
$X_C$ cala con la frequenza: il condensatore lascia passare il veloce e blocca il lento — in continua tende a infinito, cioè circuito aperto, come già sapevamo.

Le due reattanze non sono grandezze diverse in competizione: sono due comportamenti opposti alla stessa domanda. Per questo nelle formule compaiono sempre come differenza $X_L - X_C$ : si sottraggono perché i loro effetti si cancellano a vicenda.

L’impedenza

Resistenza e reattanza si combinano nell’impedenza $Z$ , ma non si sommano: sono sfasate di 90°, quindi si compongono come i cateti di un triangolo rettangolo.

Triangolo delle impedenze: R sul cateto orizzontale, X_L − X_C sul verticale, Z come ipotenusa, angolo φ

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \qquad\qquad \varphi = \arctan\!\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)

$Z \ne R + X$ . Sommare aritmeticamente resistenza e reattanza è l’errore più comune di tutto il regime alternato: darebbe sempre un valore troppo grande.

\underbrace{Z = \sqrt{R^2 + X^2}}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{Z = R + X}_{\text{sbagliato}}

Con $R = 30\ \Omega$ e $X = 40\ \Omega$ : l’impedenza vale $50\ \Omega$ , non $70$ .

Il motivo è fisico, non formale: la tensione su $R$ è in fase con la corrente, quella su $X$ è sfasata di 90°. Due grandezze a 90° si compongono con Pitagora, come le componenti di un vettore.

L’angolo $\varphi$ è lo sfasamento fra tensione e corrente, e il suo segno dice che tipo di circuito hai:

caso	$\varphi$	comportamento
$X_L > X_C$	$\varphi > 0$	induttivo: la corrente è in ritardo
$X_L < X_C$	$\varphi < 0$	capacitivo: la corrente è in anticipo
$X_L = X_C$	$\varphi = 0$	risonanza: si comporta da resistenza pura

La legge di Ohm in alternata

Con l’impedenza al posto della resistenza, la legge di Ohm continua a valere:

V = Z\,I

purché si usino valori efficaci e si tenga conto separatamente dello sfasamento $\varphi$ .

La risonanza

Quando le due reattanze si annullano a vicenda, $X_L = X_C$ , l’impedenza si riduce alla sola resistenza e diventa minima: la corrente è massima. Succede a una frequenza precisa:

\omega L = \frac{1}{\omega C} \quad\Longrightarrow\quad f_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \qquad [\text{Hz}]

È il principio con cui una radio “sintonizza” una stazione: a quella frequenza il circuito risponde molto più che a tutte le altre.

Esercizio. Un circuito RLC serie ha $R = 30\ \Omega$ , $L = 0{,}1\ \text{H}$ , $C = 100\ \mu\text{F}$ , alimentato a $50\ \text{Hz}$ con $V = 230\ \text{V}$ efficaci.

Calcola $X_L$ e $X_C$ .
Calcola l’impedenza e lo sfasamento.
Calcola la corrente efficace.
Calcola la frequenza di risonanza.

Mostra la soluzione

Punto 1. Prima la pulsazione: $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314$ rad/s.

X_L = \omega L = 314 \cdot 0{,}1 \approx 31{,}4\ \Omega

X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \cdot 100 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0{,}0314} \approx 31{,}8\ \Omega

Punto 2. Le reattanze quasi si annullano:

X_L - X_C \approx 31{,}4 - 31{,}8 = -0{,}4\ \Omega

Z = \sqrt{30^2 + (-0{,}4)^2} \approx 30{,}0\ \Omega \qquad \varphi = \arctan\!\left(\frac{-0{,}4}{30}\right) \approx -0{,}8°

Sfasamento quasi nullo e leggermente capacitivo (segno meno): siamo vicinissimi alla risonanza.

Punto 3.

I = \frac{V}{Z} = \frac{230}{30{,}0} \approx 7{,}7\ \text{A}

Punto 4.

f_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}1 \cdot 100 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}}} \approx 50{,}3\ \text{Hz}

Verifica. Il risultato del punto 4 spiega il punto 2: la frequenza di lavoro (50 Hz) è quasi esattamente quella di risonanza (50,3 Hz), ed è per questo che le reattanze si erano quasi cancellate e $Z$ è risultata praticamente uguale a $R$ . I due conti si confermano a vicenda.