Il teorema di Millman — filoconduttore

Il teorema di Millman risolve in un solo passaggio le reti binodali: reti in cui tutti i rami sono collegati in parallelo tra gli stessi due nodi $A$ e $B$ . È il caso che si incontra continuamente, da solo o come sottorete dentro un problema più grande.

Rete binodale: tre rami in parallelo tra i nodi A e B, due con generatore e resistenza in serie, uno con sola resistenza

La formula

Se ogni ramo è formato da un generatore $E_k$ in serie a una resistenza $R_k$ (o dalla sola resistenza), la tensione tra i due nodi vale:

V_{AB} = \frac{\displaystyle\sum_k \pm\frac{E_k}{R_k}}{\displaystyle\sum_k \frac{1}{R_k}}

Regola dei segni: $E_k$ va preso col segno $+$ se, da solo, spingerebbe corrente verso il nodo $A$ (cioè se il suo morsetto $+$ guarda $A$ ), col segno $-$ altrimenti. I rami con la sola resistenza contribuiscono solo al denominatore.

Per la rete in figura, ad esempio:

V_{AB} = \frac{\dfrac{E_1}{R_1} + \dfrac{E_2}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}}

Da dove viene

Non è un teorema misterioso: è la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo $A$ , scritta con le conduttanze. La corrente che il ramo $k$ porta in $A$ vale $\frac{E_k - V_{AB}}{R_k}$ ; imponendo che la somma di tutte sia nulla e isolando $V_{AB}$ si ottiene la formula.

Condizioni e casi particolari

Vale solo per reti binodali. Se la rete ha più di due nodi (veri), Millman non si applica direttamente — ma spesso una parte della rete è binodale, e lì si usa.
Ramo con generatore ideale da solo (senza resistenza in serie): la formula degenera. Non serve però nessun calcolo: quel ramo impone direttamente $V_{AB} = \pm E$ .
Ramo con generatore di corrente $I_k$ : contribuisce al numeratore con $\pm I_k$ (segno $+$ se inietta corrente in $A$ ) e non contribuisce al denominatore (la sua resistenza interna è infinita).

Esercizio. Nella rete in figura: $E_1 = 12\ \text{V}$ , $R_1 = 6\ \Omega$ , $E_2 = 6\ \text{V}$ , $R_2 = 3\ \Omega$ , $R_3 = 6\ \Omega$ (entrambi i generatori hanno il morsetto $+$ verso $A$ ).

Calcola $V_{AB}$ .
Calcola la corrente in $R_3$ .

Mostra la soluzione

Punto 1. Entrambi i generatori spingono verso $A$ : tutti i segni sono positivi.

V_{AB} = \frac{\dfrac{12}{6} + \dfrac{6}{3}}{\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}} = \frac{2 + 2}{\dfrac{4}{6}} = \frac{4}{2/3} = 6\ \text{V}

Punto 2. Il ramo di $R_3$ è passivo, quindi la corrente scende da $A$ verso $B$ :

I_3 = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{6}{6} = 1{,}0\ \text{A}

Verifica (buona abitudine): le correnti degli altri rami sono $I_1 = \frac{E_1 - V_{AB}}{R_1} = \frac{12-6}{6} = 1{,}0$ A verso $A$ e $I_2 = \frac{E_2 - V_{AB}}{R_2} = \frac{6-6}{3} = 0$ A. Al nodo $A$ : entra $1{,}0$ A, esce $1{,}0$ A. Torna.

Nota il ramo 2: $E_2$ è esattamente uguale a $V_{AB}$ , quindi non eroga corrente pur essendo collegato. Succede spesso negli esercizi ben costruiti — non è un errore.