L'induttanza — filoconduttore

L’induttore è il gemello speculare del condensatore: stessa matematica, ruoli di tensione e corrente scambiati. Chi ha capito la carica e scarica del condensatore ha già fatto metà del lavoro — basta girare le grandezze.

Il legame tensione–corrente

v_L = L\,\frac{di}{dt}

$L$ è l’induttanza e si misura in henry [H].

Letta a parole: la tensione ai capi di un induttore non dipende dalla corrente, ma da quanto in fretta la corrente cambia. Più rapido è il cambiamento ( $\frac{di}{dt}$ grande), maggiore è la tensione che l’induttore sviluppa per opporsi.

L’induttore è “pigro”: si oppone ai cambiamenti rapidi di corrente. Se provi a variare bruscamente la corrente, risponde con una tensione tanto più grande quanto più brusco è lo strappo.

Da qui, un passo alla volta, il comportamento in continua:

in regime continuo la corrente è costante
quindi $\dfrac{di}{dt} = 0$
quindi $v_L = 0$
quindi a regime l’induttore si comporta come un cortocircuito

Esattamente speculare al condensatore, che a regime è un circuito aperto.

La corrente in un induttore non può saltare. Una discontinuità di corrente vorrebbe dire $\frac{di}{dt} \to \infty$ , cioè tensione infinita: fisicamente impossibile.

È il duale della regola del condensatore (dove a non poter saltare è la tensione), e ha una conseguenza pratica che si vede in laboratorio: interrompere di colpo la corrente in un induttore — aprire un interruttore su un circuito induttivo — produce picchi di tensione altissimi, la scintilla sull’interruttore. È il principio con cui la bobina d’accensione di un’auto genera migliaia di volt da una batteria da 12 V.

La tabella dei duali

	condensatore	induttore
legame	$i_C = C\,\dfrac{dV}{dt}$	$v_L = L\,\dfrac{di}{dt}$
non può saltare	la tensione	la corrente
a regime (DC)	circuito aperto	cortocircuito
a $t = 0^+$ (se scarico)	cortocircuito	circuito aperto
energia	$\dfrac12\,C\,V^2$ (campo elettrico)	$\dfrac12\,L\,i^2$ (campo magnetico)
costante di tempo	$\tau = RC$	$\tau = \dfrac{L}{R}$

Non imparare l’induttore da zero: prendi le regole del condensatore e scambia tensione con corrente. Tutto il resto — i due istanti notevoli, la regola dei cinque $\tau$ , l’andamento esponenziale — si trasferisce identico.

Il transitorio RL

Chiudendo a $t = 0$ un circuito con generatore $E$ , resistenza $R$ e induttore $L$ in serie (induttore inizialmente a riposo), la corrente sale con la stessa legge esponenziale già vista:

i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad\text{con}\qquad \tau = \frac{L}{R}

I due istanti notevoli, con il ragionamento duale:

$t = 0^+$ : la corrente non può saltare, era zero e resta zero → l’induttore si comporta da circuito aperto;
$t \to \infty$ : corrente costante, $v_L = 0$ → cortocircuito, e la corrente vale $E/R$ come se l’induttore non ci fosse.

L’energia immagazzinata

W_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2

L’induttore accumula energia nel campo magnetico, come il condensatore la accumula nel campo elettrico. È energia vera, che torna fuori quando la corrente cala — ed è quella che alimenta la scintilla di cui sopra.

Esercizio. Un circuito serie ha $E = 12\ \text{V}$ , $R = 60\ \Omega$ e $L = 30\ \text{mH}$ . L’interruttore chiude a $t = 0$ con induttore a riposo.

Calcola la costante di tempo.
Calcola la corrente subito dopo la chiusura e a regime.
Dopo quanto tempo il transitorio è esaurito?
Quanta energia è immagazzinata nell’induttore a regime?

Mostra la soluzione

Punto 1.

\tau = \frac{L}{R} = \frac{30 \cdot 10^{-3}}{60} = 0{,}5\ \text{ms}

Punto 2. A $t = 0^+$ la corrente non può saltare: $i(0^+) = 0$ (circuito aperto). A regime l’induttore è un corto:

i(\infty) = \frac{E}{R} = \frac{12}{60} = 0{,}2\ \text{A} = 200\ \text{mA}

Punto 3. Regola dei cinque $\tau$ :

t_{\text{fine}} \approx 5\tau = 2{,}5\ \text{ms}

Punto 4.

W_L = \frac12\,L\,i^2 = \frac12 \cdot 30 \cdot 10^{-3} \cdot (0{,}2)^2 = 6 \cdot 10^{-4}\ \text{J} = 0{,}6\ \text{mJ}

Verifica. Confronta con il condensatore: lì a $t=0^+$ passava tutta la corrente e a regime zero; qui è l’esatto contrario. Se nei tuoi risultati i due istanti si comportano uguale al caso RC, hai dimenticato di scambiare i ruoli.