Stabilità e margine di fase

Un sistema in retroazione confronta l’uscita con quella desiderata e corregge. Se però la correzione arriva troppo tardi — cioè troppo sfasata — invece di riportare il sistema a posto lo spinge oltre, e l’oscillazione cresce da sola: il sistema è instabile.

La cosa notevole è che si può prevedere leggendo due diagrammi, senza risolvere niente.

L’idea

Un segnale che percorre l’anello torna indietro capovolto quando la fase ha accumulato $-180°$: a quel punto la retroazione, che dovrebbe sottrarre, somma. Se in quelle condizioni l’anello restituisce anche almeno lo stesso segnale che gli era entrato — cioè guadagno $\geq 1$ — l’oscillazione si sostiene e cresce.

Il criterio è quindi un confronto fra due letture: dove il guadagno vale 1, e quanta fase c’è in quel punto.

Una precisazione che evita l’equivoco classico del corso: la $G$ su cui si lavora è la funzione d’anello aperto — ciò che il segnale attraversa facendo un giro completo del loop, prima che la retroazione venga chiusa. La stabilità che il margine predice è quella del sistema chiuso costruito su quell’anello. Presa da sola, una $G$ con i poli a parte reale negativa è già stabile, qualunque cosa dica il margine: la domanda a cui il margine risponde è un’altra — che cosa succede quando su questa $G$ chiudi la retroazione?

La procedura, in quattro passi

1. Il guadagno statico $K$, cioè il valore per frequenza che tende a zero:

$$K = \lim_{s \to 0} G(s)$$

2. La pulsazione di attraversamento $\omega_c$, dove il modulo vale esattamente 1 (cioè 0 dB):

$$\lvert G(j\omega_c)\rvert = 1$$

3. La fase in quel punto, detta fase critica:

$$\varphi(\omega_c) = \arg G(j\omega_c)$$

4. Il margine di fase, cioè quanto manca a $-180°$:

$$M_\varphi = 180° + \varphi(\omega_c)$$

Un caso completo

$$G(s) = \frac{5}{(1+s)\left(1+\frac{s}{2}\right)}$$

Guadagno statico: per $s \to 0$ entrambi i fattori tendono a 1, quindi $K = 5$.

Pulsazione di attraversamento: si impone modulo unitario. Il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli, quindi

$$\frac{5}{\sqrt{1+\omega^2}\;\sqrt{1+\frac{\omega^2}{4}}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad (1+\omega^2)\left(1+\frac{\omega^2}{4}\right) = 25$$ $$\omega^4 + 5\omega^2 - 96 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \omega^2 = \frac{-5 + \sqrt{409}}{2} \approx 7{,}61 \quad\Longrightarrow\quad \omega_c \approx 2{,}8\ \text{rad/s}$$

Fase critica: le fasi di un prodotto si sommano, e ogni polo contribuisce con $-\arctan\frac{\omega}{\omega_i}$.

$$\varphi(\omega_c) = -\arctan(2{,}76) - \arctan\!\left(\frac{2{,}76}{2}\right) \approx -70° - 54° = -124°$$

Margine di fase:

$$M_\varphi = 180° - 124° = 56° > 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \textbf{stabile}$$

E il passo 1 non era un rito: il guadagno dice da che parte si muove la stabilità. Rifai mentalmente il conto con $K = 50$ — la curva del modulo si alza, l’attraversamento degli 0 dB si sposta a una pulsazione più alta ($\omega_c \approx 9{,}9$ invece di $2{,}8$), dove le arcotangenti hanno accumulato più fase, e il margine crolla da $56°$ a circa $17°$. Aumentare il guadagno erode il margine: è il pomello su cui l’ingegnere agisce davvero, e la stabilità è il prezzo a cui sta attento.