Quantità di moto e impulso

Due corpi con la stessa velocità non sono ugualmente difficili da fermare: un camion a 50 km/h e una bicicletta a 50 km/h chiedono cose molto diverse ai freni. La grandezza che tiene conto di entrambe — quanto va veloce e quanta massa ha — è la quantità di moto.

Il caso

Una persona di 60 kg entra in acqua a 8,0 m/s e l’acqua la ferma in 2,0 s. Qual è la forza media risultante che ha agito su di lei?

Con le formule della dinamica servirebbe l’accelerazione istante per istante, che non si conosce: l’acqua frena in modo tutt’altro che uniforme. Ma per la forza media basta guardare quanto è cambiata la quantità di moto.

La regola

\vec{p} = m\,\vec{v} \qquad [\,\text{kg}\cdot\text{m/s}\,]

È un vettore: ha la direzione e il verso della velocità. Se il moto non è lungo un asse, si lavora per componenti, esattamente come con le forze:

p_x = m\,v\cos\alpha \qquad p_y = m\,v\sin\alpha

L’azione di una forza per un certo tempo si chiama impulso:

\vec{J} = \vec{F}\,\Delta t

e il legame fra i due è il teorema dell’impulso:

\vec{J} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i

Da dove viene

Non è una legge nuova: è il secondo principio riscritto.

$\vec{F} = m\vec{a}$ , e l’accelerazione è $\vec{a} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ ;
sostituendo: $\vec{F} = m\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \dfrac{\Delta (m\vec{v})}{\Delta t}$ ;
cioè $\vec{F} = \dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$ , e moltiplicando per $\Delta t$ : $\vec{F}\Delta t = \Delta \vec{p}$ .

\vec{F}_{\text{media}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}

Il passaggio dalla seconda alla terza riga vale finché la massa è costante, che è il caso di tutti gli esercizi di questa lezione. Il vantaggio della forma $\Delta p/\Delta t$ è operativo: non serve conoscere l’accelerazione istante per istante, bastano lo stato iniziale e quello finale — cioè esattamente quello che si sa di un urto.

Tornando al caso: la persona passa da $p_i = 60 \cdot 8{,}0 = 480\ \text{kg·m/s}$ (verso il basso) a $p_f = 0$ .

\lvert\vec{F}_{\text{risultante}}\rvert = \frac{\lvert\Delta \vec{p}\rvert}{\Delta t} = \frac{480}{2{,}0} = 240\ \text{N} \qquad\text{diretta verso l'alto}

$\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ dà la forza risultante, non la forza di un singolo corpo.

Se la domanda fosse stata “che forza fa l’acqua?”, la risposta non sarebbe 240 N: in quei 2,0 s agisce anche il peso, verso il basso. Con l’asse positivo verso l’alto:

F_{\text{acqua}} - mg = \frac{\Delta p}{\Delta t} \quad\Longrightarrow\quad F_{\text{acqua}} = 240 + 60\cdot 9{,}8 \approx 8{,}3\times 10^{2}\ \text{N}

Quando si può ignorare il peso? Quando il suo impulso è piccolo rispetto a $\Delta p$ , cioè $mg\,\Delta t \ll \lvert\Delta p\rvert$ . Nel rimbalzo di una pallina ( $\Delta t = 0{,}05$ s) vale il 2% e si butta via senza pensarci; qui $\Delta t = 2{,}0$ s e l’impulso del peso è più del doppio di $\Delta p$ : ignorarlo sbaglia di oltre un fattore 3.

A parità di $\Delta p$ , allungare $\Delta t$ riduce la forza. È tutta la sicurezza passiva in una riga: airbag, casco, zone deformabili, il tappeto sotto un saltatore. Nessuno di questi oggetti cambia la quantità di moto da smaltire — la spalmano su più tempo, e la forza scende in proporzione.

Due grafici che si confondono

A sinistra un grafico forza-tempo con l'area evidenziata come impulso, a destra un grafico quantità di moto-tempo con il triangolo della pendenza

Su un grafico $F$ – $t$ conta l’area; su un grafico $p$ – $t$ conta la pendenza.

\underbrace{J = \text{area sotto } F(t)}_{\text{grafico forza-tempo}} \qquad\neq\qquad \underbrace{F = \text{pendenza di } p(t)}_{\text{grafico quantità di moto-tempo}}

Sono la stessa relazione $J = F\Delta t = \Delta p$ letta nei due versi, ma l’errore di prendere l’area quando serve la pendenza (o viceversa) è il più frequente in assoluto su questi esercizi. Il modo per non sbagliare: guarda cosa c’è sull’asse verticale prima di decidere cosa calcolare.

Il segno, quando il verso cambia

Se il corpo torna indietro, $v_i$ e $v_f$ hanno segni opposti. La formula da usare resta sempre la stessa, $\Delta p = m\,(v_f - v_i)$ , con le velocità prese col loro segno: è la sottrazione di un numero negativo a produrre la somma.

\underbrace{v_i < 0}_{\text{arriva}} \qquad \Delta p = m\,(v_f - v_i) = m\,\big(v_f + \lvert v_i \rvert\big)

I due contributi si sommano: fermare una palla e rimandarla indietro richiede più impulso che fermarla soltanto. Il passaggio dove si sbaglia è scrivere $\lvert v_i\rvert$ al posto di $v_i$ dentro la formula, perdendo il segno.

Esercizio.

Calcola la quantità di moto di un’auto di 1500 kg che viaggia a 20 m/s.
Una palla di 0,40 kg arriva contro un muro a 12 m/s e rimbalza a 8,0 m/s in verso opposto. Il contatto dura 0,050 s: calcola la forza media.
Su un corpo di 2,0 kg inizialmente fermo agisce una forza costante di 6,0 N per 3,0 s. Calcola l’impulso e la velocità finale.
Un corpo di 2,0 kg si muove a 10 m/s in una direzione che forma 30° con l’asse $x$ . Calcola le componenti della quantità di moto.

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1. Applicazione diretta:

p = m\,v = 1500 \cdot 20 = 3{,}0\times 10^{4}\ \text{kg·m/s}

2. Asse positivo nel verso del rimbalzo: $v_i = -12\ \text{m/s}$ , $v_f = +8{,}0\ \text{m/s}$ .

\Delta p = 0{,}40 \cdot \big(8{,}0 - (-12)\big) = 0{,}40 \cdot 20 = 8{,}0\ \text{kg·m/s}

F_{\text{media}} = \frac{8{,}0}{0{,}050} = 160\ \text{N}

Chi calcola $0{,}40\cdot(12-8{,}0) = 1{,}6$ ha dimenticato il cambio di verso e sbaglia di un fattore 5.

3. L’impulso è forza per tempo; poi il teorema dell’impulso dà la velocità.

J = F\,\Delta t = 6{,}0 \cdot 3{,}0 = 18\ \text{N·s}

\Delta p = 18 \quad\Longrightarrow\quad v_f = \frac{\Delta p}{m} = \frac{18}{2{,}0} = 9{,}0\ \text{m/s}

4. Prima il modulo, poi le componenti:

p = 2{,}0 \cdot 10 = 20\ \text{kg·m/s}

p_x = 20\cos 30° = 10\sqrt{3} \approx 17\ \text{kg·m/s} \qquad p_y = 20 \sin 30° = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\ \text{kg·m/s}

Verifica. Due controlli, perché catturano errori diversi.

Il primo smaschera il seno scambiato col coseno — un errore che Pitagora non vede, perché scambiare le due componenti lascia $p_x^2 + p_y^2$ identico. Il controllo giusto è quello del piano inclinato: il confronto fra le componenti. Con $30° < 45°$ la componente col coseno deve essere la più grande, cioè $p_x > p_y$ — e infatti $17 > 10$ ✓.

Il secondo, Pitagora, controlla i conti: le componenti devono ricomporre il modulo, e conviene farlo con i valori esatti invece che con quelli arrotondati:

\sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{\big(10\sqrt{3}\big)^2 + 10^2} = \sqrt{300 + 100} = 20 \;✓

(Ripetendolo con $17$ al posto di $10\sqrt{3}$ si ottiene $19{,}7$ : non è un errore, è l’arrotondamento — motivo per cui le verifiche si fanno prima di arrotondare.)