Pressione, legge di Stevino e spinta di Archimede

Un fluido — un liquido o un gas — non ha una forma propria e non si può spingere in un punto solo: qualunque azione si esercita su di lui si distribuisce. Per questo in un fluido non si ragiona in termini di forza ma di pressione, cioè di forza per unità di superficie.

Il caso

Un tacco a spillo rovina un parquet che regge tranquillamente la stessa persona in scarpe da ginnastica: stesso peso, danno opposto. La forza da sola non spiega niente — quello che cambia è su quanta superficie si concentra. Una persona da 600 N su una suola da 150 cm² preme 4 N/cm²; sulla punta di un tacco da 1 cm² preme 600 N/cm², centocinquanta volte tanto a parità di peso. È questa grandezza, forza fratto superficie, che decide cosa si ammacca e cosa no.

La regola

$$p = \frac{F}{A} \qquad [\,\text{Pa}\,] = \left[\frac{\text{N}}{\text{m}^2}\right]$$

dove $F$ è la componente perpendicolare alla superficie: una forza che scivola parallela non preme, e non conta.

Due conseguenze immediate del fatto che il fluido si adatta:

• in un punto del fluido la pressione è la stessa in tutte le direzioni, non solo verso il basso — ma cambia da punto a punto con la profondità, ed è da questa differenza che nascerà la spinta di Archimede;
• la pressione non dipende dalla forma del recipiente, solo da quanto si va giù.

Il principio di Pascal e il torchio idraulico

Una pressione esercitata su una superficie a contatto con un fluido si trasmette invariata a tutto il fluido. È il principio di Pascal, e la macchina che ne nasce è il torchio (o martinetto) idraulico: se la pressione è la stessa nei due pistoni,

$$p_1 = p_2 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

Con $A_2$ cento volte più grande di $A_1$, la forza in uscita è cento volte quella in entrata. È il freno dell’auto, il sollevatore dell’officina — e, come per il piano inclinato, il guadagno di forza si paga in corsa: il pistone grande si alza molto meno di quanto scende il piccolo.

La legge di Stevino

Dentro un fluido fermo la pressione cresce proporzionalmente alla profondità, perché ogni strato regge il peso di tutto quello che ha sopra:

$$p = \rho\,g\,h$$

con $\rho$ densità del fluido, $g$ l’accelerazione di gravità, $h$ la profondità. La formula assume $\rho$ costante su tutta la colonna: in pratica vale per i liquidi, che sono incomprimibili. Per un gas su grandi dislivelli — la colonna d’atmosfera — la densità cala salendo e la proporzionalità si perde: la pressione atmosferica non si calcola con un solo $\rho g h$.

Se sulla superficie agisce anche una pressione esterna — tipicamente quella atmosferica — le due si sommano:

$$p_{\text{tot}} = p_0 + \rho\,g\,h \qquad 1\ \text{atm} = 1{,}013\times 10^5\ \text{Pa} \qquad 1\ \text{bar} = 10^5\ \text{Pa}$$

Vasi comunicanti

Il caso fondamentale ha un solo liquido e tutti i rami aperti, cioè con le superfici libere alla stessa pressione atmosferica: allora, qualunque forma abbiano i rami — purché non siano così sottili da far salire il liquido per capillarità — il liquido si ferma allo stesso livello in tutti.

La parola aperti non è di contorno. Se un ramo è chiuso e sopra c’è un gas a pressione $p_g$ diversa da quella atmosferica, i livelli si sfalsano, e di quanto lo dice Stevino stesso:

$$\Delta h = \frac{\lvert p_g - p_0 \rvert}{\rho g}$$

cioè una differenza di pressione divisa per $\rho g$, non la differenza di pressione: i pascal non sono metri. Con acqua e $\Delta p = 1000$ Pa il dislivello è $1000/(1000 \cdot 9{,}81) \approx 10$ cm. È il principio del manometro.

È Stevino letto al contrario — se i livelli fossero diversi, alla stessa quota le pressioni sarebbero diverse e il liquido si muoverebbe finché la differenza non sparisce. L’equilibrio è il livello uguale, ed è il motivo per cui l’acqua arriva ai piani alti e la livella a tubo dà l’orizzontale.

Con due liquidi diversi e immiscibili in un tubo a U aperto — l’ipotesi serve qui esattamente come sopra, perché la formula che segue confronta le due superfici libere — il pareggio non avviene più alla stessa quota. Le pressioni si pareggiano al livello della superficie di separazione — non sul fondo, perché sotto l’interfaccia c’è lo stesso liquido nei due rami e quel tratto conta uguale da entrambe le parti. Le altezze $h_1$ e $h_2$ si misurano quindi a partire dall’interfaccia:

$$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2 \qquad\Longrightarrow\qquad \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$$

Il $g$ si semplifica, e resta una relazione fra densità e altezza: le altezze sono inversamente proporzionali alle densità. Il liquido più denso sta più basso.

$$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$$

E se le altezze risultano uguali, allora $\rho_1 = \rho_2$: è lo stesso liquido, e si ritrova il caso fondamentale da cui siamo partiti.

La spinta di Archimede

Un corpo immerso riceve dal basso più pressione che dall’alto — perché sotto è più profondo — e la differenza è una forza netta verso l’alto:

$$F_A = \rho_{\text{fluido}}\; V_{\text{immerso}}\; g$$

Il confronto fra peso e spinta decide che cosa succede, e si riduce a un confronto fra densità:

$$\rho_{\text{corpo}} < \rho_{\text{fluido}} \;\rightarrow\; \textbf{galleggia} \qquad \rho_{\text{corpo}} > \rho_{\text{fluido}} \;\rightarrow\; \text{affonda}$$

Il $\rho_{\text{corpo}}$ del confronto è la densità media del corpo, cavità e aria comprese. È così che una nave d’acciaio ($\rho \approx 7800\ \text{kg/m}^3$) galleggia: lo scafo racchiude soprattutto aria, e la media scende sotto i 1000 dell’acqua. Senza la parola media la regola sarebbe smentita da ogni porto del mondo.

Un corpo che galleggia si immerge quel tanto che basta perché la spinta pareggi il peso: da $mg = \rho_{\text{fluido}} V_{\text{imm}}\, g$ si ricava proprio quanta parte resta sott’acqua.