Il moto uniformemente accelerato

Nel MRU la velocità era costante. Qui è costante l’accelerazione: la velocità cambia, ma cambia in modo regolare — stessa variazione ogni secondo. È il moto di (quasi) tutto ciò che parte, frena o cade.

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \qquad [\text{m/s}^2]

Un’accelerazione di $2\ \text{m/s}^2$ si legge: la velocità cresce di 2 m/s ogni secondo.

Le tre formule

Tutto il MRUA sta in tre righe:

s = s_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}\,a\,t^2

v_f = v_0 + a\,t

v_f^{\,2} = v_0^{\,2} + 2a\,(s - s_0)

La terza non è una formula nuova: è la combinazione delle prime due con il tempo eliminato. Ed è proprio questo il criterio di scelta:

se il problema non parla di…	usa
velocità finale	la prima
spazio	la seconda
tempo	la terza

Guarda cosa manca nel testo del problema, e scegli la formula che non lo contiene. È più veloce che ricavare il tempo da una formula per infilarlo in un’altra — e ogni passaggio in meno è un errore in meno.

Il metodo: cancella i termini nulli

Prima di calcolare, sbarra i termini che valgono zero. Partenza da fermo → $v_0 = 0$ ; origine nel punto di partenza → $s_0 = 0$ . La prima formula, che sembra lunga, quasi sempre collassa:

s = \cancel{s_0} + \cancel{v_0 t} + \frac12\,a\,t^2 \qquad\Longrightarrow\qquad s = \frac12\,a\,t^2

È un gesto materiale — sbarrare sulla carta — e vale la pena farlo davvero: la formula che resta è quella su cui si lavora, e gli errori di conto calano di colpo.

Il segno di $a$ porta la fisica. Un corpo che accelera nel verso del moto ha $a > 0$ ; uno che frena ha $a < 0$ (decelerazione). Se un problema dice “decelera di $0{,}25\ \text{m/s}^2$ ”, nelle formule entra $a = -0{,}25$ .

Dimenticare il meno produce un treno che invece di fermarsi accelera: se i numeri crescono dove dovrebbero calare, il segno di $a$ è il primo posto dove guardare.

Un caso da conoscere: la caduta libera

Un corpo lasciato cadere è un MRUA con $a = g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$ verso il basso, e le stesse tre formule risolvono tutto — con $v_0 = 0$ se è lasciato cadere, $v_0 \ne 0$ se è lanciato.

Esercizio. Un’auto parte da ferma e raggiunge i 90 km/h in 50 s con accelerazione costante.

Calcola l’accelerazione.
Calcola lo spazio percorso in quei 50 s.
A quella velocità inizia a frenare con decelerazione di $0{,}25\ \text{m/s}^2$ : quanto spazio le serve per fermarsi?

Mostra la soluzione

Unità prima di tutto: $90\ \text{km/h} = 90/3{,}6 = 25\ \text{m/s}$ .

Punto 1. Definizione di accelerazione, con $v_0 = 0$ :

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{25}{50} = 0{,}5\ \text{m/s}^2

Punto 2. Parte da ferma e dall’origine: sbarro $s_0$ e $v_0 t$ .

s = \frac12\,a\,t^2 = \frac12 \cdot 0{,}5 \cdot 50^2 = 625\ \text{m}

Punto 3. Il tempo non compare né nei dati né nella domanda: terza formula. Frenata: $a = -0{,}25\ \text{m/s}^2$ , da $v_0 = 25$ a $v_f = 0$ .

0 = 25^2 + 2\,(-0{,}25)\,s \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{625}{0{,}5} = 1250\ \text{m}

Verifica. Controllo d’ordine di grandezza: la frenata è il doppio dello spazio di accelerazione, coerente col fatto che la decelerazione è metà dell’accelerazione ( $0{,}25$ contro $0{,}5$ ) a parità di velocità. E le unità tornano: $\text{m}^2/\text{s}^2$ diviso $\text{m/s}^2$ dà metri ✓.