Il piano inclinato — filoconduttore

Nella lezione sui principi della dinamica il piano inclinato è servito da esempio del metodo: assi ruotati, peso scomposto in

P_\parallel = P \sin\alpha \qquad P_\perp = P\cos\alpha

Qui si va avanti: che forza serve per tenere fermo il corpo, e con che accelerazione scende se non la si applica. In tutta la lezione l’attrito è trascurabile — il piano è liscio.

Il caso

Una cassa di 20 kg è ferma su uno scivolo liscio inclinato di 30°. Quanta forza serve, lungo il piano, per tenerla ferma?

Le tre forze in gioco

Piano inclinato con il blocco, il peso scomposto nelle componenti parallela e perpendicolare al piano, la reazione vincolare e gli assi ruotati

Sul corpo agiscono il peso $\vec P$ , la reazione del piano $\vec R$ e l’eventuale spinta esterna. La reazione è perpendicolare alla superficie perché il vincolo è liscio: su un piano scabro la forza di contatto ha anche una componente lungo il piano, ed è l’attrito.

$\vec R$ e $\vec P$ non si annullano fra loro.

\underbrace{\vec R + \vec P_\perp = 0}_{\text{vero: equilibrio lungo } y} \qquad\neq\qquad \underbrace{\vec R + \vec P = 0}_{\text{falso appena } \alpha \neq 0}

Sul piano orizzontale coincidono, ed è per questo che l’errore non si vede finché il piano non si inclina. La reazione vincolare bilancia solo la componente perpendicolare: quella parallela resta scoperta, e il corpo accelera.

L’equilibrio

Perché la cassa resti ferma serve una forza esterna lungo il piano che annulli $P_\parallel$ :

\vec F_e + \vec P_\parallel = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad F_e = P\sin\alpha

Nel caso di apertura: $P = 20 \cdot 9{,}8 = 196\ \text{N}$ , quindi

F_e = 196 \cdot \sin 30° = 196 \cdot 0{,}5 = 98\ \text{N}

Metà del peso. E poiché $\sin\alpha = \dfrac{h}{L}$ , la stessa cosa si scrive con le misure dello scivolo invece che con l’angolo:

F_e = P\,\frac{h}{L}

Il piano inclinato è una macchina semplice. Siccome $h < L$ , il rapporto $\frac{h}{L}$ è minore di 1 e quindi $F_e < P$ : serve meno forza che a sollevare il corpo di peso.

Quello che non si risparmia è il prodotto forza per strada: la forza è più piccola, ma va applicata lungo $L$ invece che lungo $h$ , e $F_e \cdot L = P\,\frac{h}{L}\cdot L = P\,h$ . Meno forza in cambio di più strada — il baratto di tutte le macchine semplici, e vale così solo senza attrito: su uno scivolo scabro il prodotto è maggiore, perché una parte se ne va a vincere l’attrito.

Se non c’è equilibrio

Senza forza esterna resta $P_\parallel$ scoperta, e il secondo principio dà subito l’accelerazione:

m\,a = P\sin\alpha = m\,g\sin\alpha \qquad\Longrightarrow\qquad a = g\sin\alpha

La massa si semplifica: tutti i corpi scendono lungo lo stesso scivolo con la stessa accelerazione, indipendentemente da quanto pesano — nell’ipotesi che l’attrito sia trascurabile.

Esercizio. Considera un piano inclinato liscio (attrito trascurabile) e $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Una cassa di 50 kg sta su un piano inclinato di 30°. Calcola $P_\parallel$ e $P_\perp$ .
Con quale accelerazione scende un corpo lungo un piano inclinato di 45°?
Uno scivolo è alto 1,2 m e lungo 4,0 m. Che forza serve, parallela allo scivolo, per tenere fermo un corpo di 30 kg?
Un corpo di 10 kg è in equilibrio su un piano inclinato grazie a una forza di 49 N parallela al piano. Quanto vale l’angolo?

Mostra la soluzione

1. Prima il peso: $P = 50 \cdot 9{,}8 = 490\ \text{N}$ .

P_\parallel = 490 \sin 30° = 245\ \text{N} \qquad P_\perp = 490\cos 30° \approx 424\ \text{N}

2. La massa non serve:

a = g\sin 45° = 9{,}8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 6{,}9\ \text{m/s}^2

3. Conviene la forma con le misure, senza calcolare l’angolo:

F_e = P\,\frac{h}{L} = 30 \cdot 9{,}8 \cdot \frac{1{,}2}{4{,}0} = 294 \cdot 0{,}3 = 88{,}2\ \text{N}

4. Si inverte la formula dell’equilibrio:

\sin\alpha = \frac{F_e}{P} = \frac{49}{10\cdot 9{,}8} = 0{,}5 \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha = 30°

Verifica. Il controllo che smaschera davvero il seno scambiato col coseno è il confronto fra le due componenti: sotto i 45° la componente lungo il piano è la più piccola, sopra i 45° la più grande. Nel punto 1, con $\alpha = 30° < 45°$ , deve risultare $P_\parallel < P_\perp$ : $245 < 424$ ✓.

Attenzione a non usare il vincolo ” $0 \leq$ componente $\leq P$ ”: è sempre soddisfatto — seno e coseno stanno entrambi fra 0 e 1 — quindi non fallisce mai, nemmeno quando le due componenti sono scambiate. Un controllo che non può fallire non è un controllo. Se invece vuoi verificare la scomposizione nel suo insieme, usa Pitagora: $P_\parallel^2 + P_\perp^2 = P^2$ .