I principi della dinamica — filoconduttore

La cinematica descrive il moto; la dinamica dice perché avviene. Il ponte fra le due è un’unica idea: le forze non producono velocità, producono accelerazione.

I tre principi

Primo (inerzia). Un corpo su cui la risultante delle forze è nulla resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme.

\vec{F}_{tot} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{v} = \text{costante}

Secondo. La risultante delle forze è proporzionale all’accelerazione, e la costante è la massa:

\vec{F}_{tot} = m\,\vec{a} \qquad [\text{N} = \text{kg}\cdot\text{m/s}^2]

Terzo (azione e reazione). A ogni forza corrisponde una forza uguale e contraria, applicata all’altro corpo.

Le due forze del terzo principio non si annullano mai a vicenda, perché agiscono su corpi diversi. Il libro spinge il tavolo e il tavolo spinge il libro: se si annullassero, niente si muoverebbe mai.

Quando sommi le forze per il secondo principio, sommi solo quelle applicate al corpo che stai studiando. Disegnare il corpo isolato con addosso le sue forze — e nessun’altra — è il gesto che rende risolvibili i problemi di dinamica.

Le forze che si incontrano

Forza peso: $P = m\,g$ , sempre verticale verso il basso, con $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$ ;
Reazione vincolare $N$ : la forza con cui un piano risponde, sempre perpendicolare al piano stesso;
Attrito: parallelo alla superficie, opposto al moto (o alla tendenza al moto), $F_a = \mu\,N$ ;
Tensione di una fune, diretta lungo la fune.

Il metodo: scomporre

Quando le forze non sono tutte allineate — praticamente sempre — si sceglie un sistema di assi comodo e si scompone ogni forza lungo quegli assi. Sul piano inclinato la scelta furba è prendere gli assi paralleli e perpendicolari al piano, non orizzontale e verticale:

Blocco su un piano inclinato con la forza peso scomposta nelle componenti parallela e perpendicolare al piano

P_{\parallel} = m\,g\,\sin\alpha \qquad\qquad P_{\perp} = m\,g\,\cos\alpha

La componente parallela è quella che fa scivolare il blocco; la perpendicolare è bilanciata dalla reazione vincolare, $N = mg\cos\alpha$ .

Seno o coseno? Non impararlo a memoria: guarda il disegno e chiediti cosa succede al limite.

Con $\alpha \to 0$ (piano orizzontale) il blocco non deve scivolare, e infatti $\sin 0 = 0$ annulla $P_\parallel$ ✓. Con $\alpha \to 90°$ (piano verticale) il blocco deve cadere libero, e infatti $\sin 90° = 1$ dà $P_\parallel = mg$ ✓.

Il controllo ai casi limite decide in due secondi, e non si dimentica.

Lo stesso metodo vale ovunque le forze siano inclinate: si ricava l’angolo dalla geometria del problema e si proietta. Nel caso di un corpo su una traiettoria curva, per esempio, l’angolo fra il raggio e la verticale determina quanta parte del peso agisce lungo la direzione radiale: $P_{\perp} = P\cos\alpha$ .

La forza centripeta non è una forza nuova

Nel moto circolare l’accelerazione è centripeta, quindi per il secondo principio serve una forza diretta al centro:

F_c = m\,a_c = m\,\frac{v^2}{r}

$F_c$ è un ruolo, non un tipo di forza. Nessun corpo è soggetto a una “forza centripeta” oltre alle altre: è una delle forze già presenti a svolgere quel compito.

situazione	chi fa da forza centripeta
pallina legata a una fune	la tensione della fune
auto in curva	l’attrito degli pneumatici
pianeta in orbita	la forza gravitazionale

Scrivere $F_c$ insieme a tensione o attrito, come se fosse un’altra forza, significa contarla due volte.

Esercizio. Un blocco di massa $5{,}0\ \text{kg}$ è appoggiato su un piano inclinato di $30°$ , con coefficiente di attrito dinamico $\mu = 0{,}20$ .

Calcola le due componenti della forza peso.
Calcola la reazione vincolare e la forza di attrito.
Il blocco scivola? Se sì, con quale accelerazione?

Mostra la soluzione

Punto 1. Con $mg = 5{,}0 \cdot 9{,}81 \approx 49{,}1\ \text{N}$ :

P_\parallel = 49{,}1 \cdot \sin 30° = 49{,}1 \cdot 0{,}5 \approx 24{,}5\ \text{N}

P_\perp = 49{,}1 \cdot \cos 30° = 49{,}1 \cdot 0{,}866 \approx 42{,}5\ \text{N}

Punto 2. La reazione vincolare bilancia la componente perpendicolare:

N = P_\perp \approx 42{,}5\ \text{N} \qquad F_a = \mu N = 0{,}20 \cdot 42{,}5 \approx 8{,}5\ \text{N}

Punto 3. Confronto chi spinge e chi frena: $24{,}5 > 8{,}5$ , quindi sì, scivola. La risultante lungo il piano vale:

F_{tot} = P_\parallel - F_a = 24{,}5 - 8{,}5 = 16{,}0\ \text{N}

a = \frac{F_{tot}}{m} = \frac{16{,}0}{5{,}0} = 3{,}2\ \text{m/s}^2

Verifica. L’accelerazione deve essere minore di quella che avrebbe senza attrito ( $g\sin 30° = 4{,}9\ \text{m/s}^2$ ): $3{,}2 < 4{,}9$ ✓. E deve essere positiva, altrimenti il blocco resterebbe fermo e l’attrito statico basterebbe a trattenerlo.